國三上 第1章「相似形」分節互動講義 · 分節互動練習

解析：由 2x:3y:4z=6:12:20，將各項還原：
x = 6/2 = 3、y = 12/3 = 4、z = 20/4 = 5。
所以 x:y:z = 3:4:5。
驗算：2x:3y:4z = 6:12:20 ✓

解析：兩個比的共同項是 y。x:y 中 y=4，y:z 中 y=6，取 4 與 6 的最小公倍數 12。
x:y = 3:4 = 9:12（同乘 3）
y:z = 6:5 = 12:10（同乘 2）
y 都化為 12，合併得 x:y:z = 9:12:10。
驗算：x:y=9:12=3:4 ✓、y:z=12:10=6:5 ✓

解析：設 3x=4y=6z=k（k≠0）。
x = k/3、y = k/4、z = k/6。
x:y:z = 1/3 : 1/4 : 1/6，各項乘以 3、4、6 的最小公倍數 12：
= (12/3):(12/4):(12/6) = 4:3:2。
驗算：3x=3·4=12、4y=4·3=12、6z=6·2=12，三者相等 ✓

解析：設 x=2r、y=3r、z=5r（r≠0）。
x+y = 2r+3r = 5r
y+z = 3r+5r = 8r
z+x = 5r+2r = 7r
所以 (x+y):(y+z):(z+x) = 5r:8r:7r = 5:8:7。

解析：個數比 5:4:3，總份數 5+4+3=12。每份 180÷12 = 15 枚。
1 元硬幣：5×15 = 75 枚，共 75×1 = 75 元
5 元硬幣：4×15 = 60 枚，共 60×5 = 300 元
10 元硬幣：3×15 = 45 枚，共 45×10 = 450 元
合計 75+300+450 = 825 元。
驗算：硬幣枚數 75+60+45 = 180 枚 ✓

解析：兩個比的共同項是 z。y:z 中 z=3，x:z 中 z=5，取 3 與 5 的最小公倍數 15。
y:z = 4:3 = 20:15（同乘 5）
x:z = 8:5 = 24:15（同乘 3）
z 都化為 15，合併得 x:y:z = 24:20:15。
驗算：y:z=20:15=4:3 ✓、x:z=24:15=8:5 ✓

解析：設 x=3r、y=5r、z=7r（r≠0）。
x+y+z = 3r+5r+7r = 15r = 90，得 r = 6。
所以 x=18、y=30、z=42。
2x+y−z = 2·18+30−42 = 36+30−42 = 24。

解析：設乙出的錢為基準。
甲 = 乙的 2 倍，故 甲:乙 = 2:1。
「乙的 3 倍 = 丙的 2 倍」即 3乙 = 2丙，得 乙:丙 = 2:3。
合併連比：以乙為共同項，甲:乙 = 2:1 = 4:2，乙:丙 = 2:3，
所以 甲:乙:丙 = 4:2:3。
總份數 4+2+3 = 9，每份 720÷9 = 80 元。
甲 = 4×80 = 320 元。
驗算：乙 = 2×80 = 160、丙 = 3×80 = 240；甲=2乙(320=2·160)✓、3乙=2丙(480=480)✓、總和 320+160+240 = 720 ✓

解析：同一個泳池水量固定，注水時間與每小時出水量成反比。
x:y:z = 1/4 : 1/6 : 1/12。
各項乘以 4、6、12 的最小公倍數 12：
= (12/4):(12/6):(12/12) = 3:2:1。
驗算：出水量比 4:6:12 = 2:3:6；時間比 3:2:1 與 2:3:6 互為倒數比 ✓

解析：三段長度比為 3:2:1，總份數 3+2+1 = 6。
每份長 96÷6 = 16 公分。
左端到 A = 3×16 = 48 公分
A 到 B = 2×16 = 32 公分
B 到右端 = 1×16 = 16 公分
A 到右端 = (A 到 B) + (B 到右端) = 32+16 = 48 公分。
驗算：48+32+16 = 96 公分 ✓

解析：三角形皆以 A 為頂點、底在 BC 上，高相同，故面積比＝底邊比。BC=3+2+5=10、BE=BD+DE=3+2=5、DC=DE+EC=2+5=7。(A) △ABD:△ADC=BD:DC=3:7，正確。(B) △ADE:△AEC=DE:EC=2:5，正確。(D) △ABD:△AEC=BD:EC=3:5，正確。(C) △ABE:△ABC=BE:BC=5:10=1:2，並非 2:5，故錯誤。答案選 (C)。

解析：DE // BC，由平行線截比例線段性質：AD:DB = AE:EC。代入得 6:9 = 4:EC，交叉相乘 6·EC = 9·4 = 36，故 EC = 36÷6 = 6。答案選 (C)。

解析：要判斷 PQ // BC，須滿足『被截兩邊對應線段成比例』（如 AP:PB=AQ:QC 或 AP:AB=AQ:AC）。(A) AP:PB=6:10=3:5，AQ:QC=9:15=3:5，相等 ⇒ 平行。(B) AP:AB=8:12=2:3，AQ:AC=10:15=2:3，相等 ⇒ 平行。(C) BP:AB=4:10=2:5，CQ:AC=6:15=2:5，相等 ⇒ 平行。(D) 給的是 PQ:BC=8:20=2:5 與 AP:AB=4:10=2:5，這是『第三邊長度之比』而非分割兩邊之比；線段長相等不保證方向相同，故 PQ 不一定平行 BC。答案選 (D)。

解析：三角形兩邊中點的連線段（中線連線）平行第三邊，且長度為第三邊的一半，即 DE = ½ BC。故 BC = 2·DE = 2·11 = 22。答案選 (D)。

解析：三平行線截兩截線，所截對應線段成比例：AB:BC = DE:EF。代入得 1:3 = (4x−3):(6x+3)，交叉相乘 3(4x−3) = 1·(6x+3)，即 12x−9 = 6x+3，6x = 12，x = 2。驗算：DE=4·2−3=5、EF=6·2+3=15，5:15=1:3 ✓。答案選 (A)。

解析：設 AD=a。過 A 作 AB 的平行……較簡便的作法：連對角線或用夾線公式。因 AD // PQ // BC，P 分 AB 使 AP:AB=3:5，故 PQ 為上底 AD 與下底 BC 之間、位置比例為 3/5 處的截線，長度為 PQ = AD + (BC−AD)·(AP/AB) = AD + (24−AD)·(3/5)。代入 PQ=20：20 = AD + (24−AD)·0.6 = 0.4AD + 14.4，得 0.4AD = 5.6，AD = 14。驗算：14 + (24−14)·0.6 = 14+6 = 20 ✓。答案選 (C)。

解析：AD 為 ∠A 的角平分線，依角平分線分對邊性質：BD:DC = AB:AC = 10:15 = 2:3。又 DE // AB，D 在 BC 上、E 在 AC 上，由平行線截比例：CE:EA = CD:DB = 3:2，即 AE:EC = 2:3。故 AE = AC·2/(2+3) = 15·2/5 = 6。答案選 (B)。

解析：梯形兩對角線中點的連線段，平行於兩底，且長度等於兩底之差的一半：EF = ½(DC − AB)。代入 EF = ½(12 − 8) = ½·4 = 2。（原理：中點連線可視為由兩個三角形中點連線疊出，長度為長底減短底的一半。）

解析：(1) △ABD 與 △ADC 同以 A 為頂點、底在 BC 上，面積比＝BD:DC=3:2。故 △ADC = 45·(2/3) = 30，△ABC = △ABD + △ADC = 45 + 30 = 75。(2) 看 △ADC 內：P 在 AD 上，△APC 與 △DPC 以 C 為頂點、底 AP、PD 在同一直線上，面積比＝AP:PD=1:1。故 △APC = △ADC·(1/2) = 30·½ = 15。

解析：先求斜邊 AC：直角三角形 ∠B=90°，AC = √(AB²+BC²) = √(32²+24²) = √(1024+576) = √1600 = 40。D、E、F 為各邊中點，中點三角形的每一邊都是原三角形某一邊的中點連線，長度為對邊的一半，故 △DEF 三邊分別為 AB、BC、CA 的一半：16、12、20。周長 = 16+12+20 = 48（即原三角形周長 96 的一半）。

解析：(1) 因 AD // PQ // BC，這兩條截線（腰 AB 與 DC）被三平行線所截，對應線段成比例：AP:PB = DQ:QC。代入 (2x−3):4 = x:3，交叉相乘 3(2x−3) = 4·x，即 6x−9 = 4x，2x = 9，x = 9/2。(2) AP = 2x−3 = 2·(9/2)−3 = 9−3 = 6；DQ = x = 9/2。驗算：AP:PB = 6:4 = 3:2，DQ:QC = (9/2):3 = 3:2，兩比相等 ✓。

解析：(1) D、E 為 AB、AC 兩邊中點，由三角形兩邊中點連線段性質：DE 平行第三邊 BC，且長度為 BC 的一半，即 DE = ½ BC。(2) 由 DE = ½ BC 得 BC = 2·DE = 2·6 = 12。(3) 因 AD:AB = AE:AC = 1:2，且 DE:BC = 1:2，三組對應邊比皆為 1:2，△ADE 與 △ABC 相似，周長比＝對應邊比＝1:2。（驗算：△ADE 三邊 AD=7、AE=5、DE=6，和 18；△ABC 三邊 AB=14、AC=10、BC=12，和 36，18:36=1:2 ✓。）

解析：縮放倍率 r＝O A′/O A＝4。縮放後圖形與原圖形對應邊成比例，周長也放大為 r 倍，故 △A′B′C′ 周長＝18×4＝72。（面積才是 r² 倍，勿誤用。）

解析：PQ 對應 AB（比 6），RS 對應 CD（比 4）。相似 ⇒ 對應邊成比例，設每一份為 k，則 PQ＝6k、RS＝4k，PQ－RS＝2k＝14 ⇒ k＝7。四邊形 PQRS 周長＝(6＋5＋4＋3)k＝18×7＝126（公分）。

解析：相似 ⇒ 對應角相等，∠A＝∠P：2x＋10＝3x－30 ⇒ x＝40。又 ∠B 的對應角為 ∠Q，故 ∠B＝∠Q＝2(40)－10＝70°。

解析：判別相似須「對應角相等」且「對應邊成比例」兩條件同時成立。(A) 長方形對應角雖皆 90°，但邊比可不同（如 1×2 與 1×3），錯；(B) 菱形對應邊皆成比例，但角度可不同，錯；(C) 只有對應邊成比例、對應角不一定相等，錯；(D) 正方形四角皆 90°（對應角相等），四邊等長（對應邊比皆相同），兩條件都成立，故一定相似，正確。

解析：∠AOB 與 ∠COD 為對頂角，故 ∠AOB＝∠COD（一組對應角相等）。夾此角的兩組對應邊：OA/OC＝4/6＝2/3，OB/OD＝6/9＝2/3，比值相等。一組對應角相等且夾角兩邊成比例，故 △OAB ∼ △OCD（SAS 相似）。

解析：△ABC 三邊 6:9:12 化簡為 2:3:4，最長邊為 12。△DEF ∼ △ABC，對應邊成比例：相似比＝DEF 最長邊/ABC 最長邊＝20/12＝5/3。周長也依此比放大，△ABC 周長＝6＋9＋12＝27，故 △DEF 周長＝27×5/3＝45。（亦可直接由 20＝4 份 ⇒ 每份 5，周長＝(2＋3＋4)×5＝45。）

解析：縮放（位似）性質：對應角「相等」、對應邊成比例。(A) 對應角相等且對應邊成比例，故相似，正確；(B) 邊長放大 3 倍，周長也為 3 倍，正確；(C) 角度在縮放後「不變」，並非放大 3 倍，錯誤；(D) 面積比＝邊長比的平方＝3²＝9 倍，正確。故選 (C)。

解析：△ADE 與 △ACB 中，∠A 為公共角（一組對應角相等）。夾此角兩邊：AD/AC＝4/8＝1/2，AE/AB＝5/10＝1/2，比值相等，故 △ADE ∼ △ACB（SAS 相似），對應邊 DE 對 BC。由 DE/BC＝1/2 ⇒ 6/BC＝1/2 ⇒ BC＝12。

解析：(1) 在 △OAB 與 △ODC 中：∠A＝∠D（已知，一組對應角相等）；∠AOB＝∠DOC（對頂角相等，第二組對應角相等）。兩組對應角分別相等，故 △OAB ∼ △ODC（AA 相似）。(2) 由相似得對應邊成比例：OA/OD＝OB/OC。代入 8/4＝6/OC ⇒ 2＝6/OC ⇒ OC＝3。

解析：原長方形長:寬＝8:6＝4:3。剩下的長方形兩邊為 (8－x) 與 6。因剩下的較「瘦長」的一邊變成 6，較短邊為 (8－x)，要與原長方形相似（長邊:短邊＝4:3），須 6:(8－x)＝4:3，即 4(8－x)＝18 ⇒ 32－4x＝18 ⇒ 4x＝14 ⇒ x＝3.5。驗算：剩下 4.5×6，比為 6:4.5＝4:3 ✓，與原長方形 8:6＝4:3 相同，確為相似。

解析：∠B 為共用角，∠BCD=∠BAC，故 △BCD∼△BAC（AA 相似，母子相似型）。對應邊 BC:BA=BD:BC，即 BC²=BD·BA。其中 BA=AD+DB=12+4=16，故 BC²=4×16=64，BC=8。

解析：相似三角形對應高的比＝對應邊的比。AP:DQ=AB:DE=8:12=2:3，故 6:DQ=2:3，DQ=6×3/2=9。

解析：相似三角形面積比＝對應邊長比的平方。對應邊比 6:10=3:5，故面積比 3²:5²=9:25。設較大面積為 S，27:S=9:25，S=27×25/9=75（平方公分）。

解析：人高 160 公分＝1.6 公尺。同時刻兩相似直角三角形：人高:樹高＝人影:樹影。設樹高 h，1.6:h=2:5，h=1.6×5/2=4（公尺）。

解析：45°-45°-90° 直角三角形的邊長比為 股:股:斜邊＝1:1:√2。設股長 a，則斜邊＝√2·a=8√2，故 a=8（公分）。

解析：三邊中點連線所成的中點三角形 △DEF∼△ABC，且對應邊皆為原三角形的一半（比 1:2）。(1) 周長比＝邊長比＝1:2，故周長＝30×½=15（公分）。(2) 面積比＝邊長比平方＝1²:2²=1:4，故面積＝48×¼=12（平方公分）。

解析：30°-60°-90° 直角三角形邊長比為 (30°對邊):(60°對邊):斜邊＝1:√3:2。斜邊 AB=12＝2 份，故每份 6。(1) 30° 對邊 AC＝1 份＝6（公分）。(2) 60° 對邊 BC＝√3 份＝6√3（公分）。

解析：直角三角形斜邊上的高分出母子相似三角形。(1) 由 △ABD∼△CAD 得 AD:CD=BD:AD，即 AD²=BD·CD=4×9=36，AD=6。(2) 由 △ABD∼△CBA 得 AB²=BD·BC，其中 BC=BD+CD=4+9=13，故 AB²=4×13=52，AB=√52=2√13。

解析：因 DE∥AB，∠CED=∠CBA、∠C 共用，故 △CED∼△CBA（AA 相似）。對應邊成比例：DE:AB=CE:CB。設 AB=x，12:x=15:45，15x=12×45=540，x=36。所以河寬 AB=36 公尺。

解析：斜坡、水平地面與垂直高度構成 30°-60°-90° 直角三角形，邊長比 (30°對邊):(60°對邊):斜邊＝1:√3:2。斜坡長（斜邊）＝24＝2 份，每份 12。(1) 垂直高度是 30° 所對的邊＝1 份＝12（公尺）。(2) 水平距離是 60° 所對的邊＝√3 份＝12√3（公尺）。