國二下 第3章「三角形的基本性質」 · 分節互動練習

解析：作法中 PA＝PB（同弧半徑）、QA＝QB（同半徑相交弧），故 PAQB 為鳶形，其對角線 PQ⊥AB（即 PQ⊥L）。
(甲) PQ⊥L：正確。
(丙) PA＝PB：正確（同一弧的半徑）。
(乙) L 是 PQ 的中垂線：錯誤。PQ 確實是 AB 的中垂線（會平分 AB），但反過來 L 未必平分 PQ——P 在線外任意位置，L 通常不通過 PQ 中點。
(丁) L 平分 PQ：同理錯誤。
故正確者為 甲、丙。

解析：作 MN＝a＋b（用等線段作圖）：
1. 畫一條直線，在上面取一點 M。
2. 以 M 為圓心、a 為半徑畫弧交直線於 P，得 MP＝a。
3. 再以 P 為圓心、b 為半徑，往同方向畫弧交直線於 N，得 PN＝b。
4. 則 MN＝MP＋PN＝a＋b，即為所求。

作 2×∠1（用等角作圖）：
1. 畫射線 OX，用等角作圖把 ∠1 複製到 O，作 ∠XOY＝∠1。
2. 再以 OY 為一邊，往同側用等角作圖複製一次 ∠1，作 ∠YOZ＝∠1。
3. 則 ∠XOZ＝∠XOY＋∠YOZ＝∠1＋∠1＝2∠1，即為所求。
（兩者都只用直尺與圓規：等線段＝以已知長為半徑畫弧截取；等角＝以弧上弦長為半徑複製角。）

解析：三組已知條件 AB=DE、BC=EF、AC=DF 全部是「邊」，也就是三組對應邊分別相等。
三邊對應相等 ⟹ 用 SSS 全等性質，得 △ABC ≅ △DEF。
驗算對應：A↔D、B↔E、C↔F，三邊一一對應無誤。

解析：在 △ABD 與 △ACD 中：
BD=CD（已知，D 為中點）… S
∠ADB=∠ADC=90°（AD⊥BC）… A（此角為兩邊夾角）
AD=AD（共用邊）… S
兩邊及其夾角對應相等 ⟹ 用 SAS 全等性質，得 △ABD ≅ △ACD。
驗算：夾角 ∠ADB 恰好夾在 BD、AD 兩邊之間，符合 SAS 的「夾角」要求。

解析：逐項檢查：
(A) 錯：SSA 不能判別全等，兩邊及一邊的對角相等時，第三邊可能有兩種畫法（除非該角為直角，即成 RHS）。
(B) 錯：AAA 不能判別全等。例如邊長 2 與邊長 4 的兩個正三角形三角都是 60°，卻不全等（只保證相似）。
(C) 正確：AAS 由內角和 180° 可推出第三組角也相等，化為 ASA，故能判別全等。
(D) 錯：面積相等的三角形形狀可完全不同（如 底6高4 與 底8高3 面積都是 12），不一定全等。
故選 (C)。

解析：由 △ABC ≅ △DEF 的頂點對應順序 A↔D、B↔E、C↔F。
(1) BC 的對應邊是 EF，故 EF＝BC＝11。
(2) 先求 ∠C：內角和 ∠C＝180°−∠A−∠B＝180°−50°−65°＝65°。
∠F 的對應角是 ∠C，故 ∠F＝∠C＝65°。
驗算：△DEF 三角 ∠D=∠A=50°、∠E=∠B=65°、∠F=65°，50+65+65＝180°，正確。

解析：由 △ABC ≅ △DEF，對應邊相等。
AB＝DE：2x−3＝13 ⟹ 2x＝16 ⟹ x＝8。
BC＝EF：3y+1＝19 ⟹ 3y＝18 ⟹ y＝6。
x＋y＝8＋6＝14。
驗算：AB＝2(8)−3＝13＝DE ✓；BC＝3(6)+1＝19＝EF ✓。

解析：在 △ABC 與 △ADC 中：
∠BAC=∠DAC（已知）… A
AC=AC（共用邊）… S（此邊為兩角的夾邊）
∠BCA=∠DCA（已知）… A
兩組角及其夾邊對應相等 ⟹ 用 ASA 全等性質，得 △ABC ≅ △ADC。
驗算：共用邊 AC 恰好夾在 ∠A、∠C 兩角之間，符合 ASA 的「夾邊」要求。

解析：△ABD 與 △ACD 都是直角三角形（AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°）。
斜邊 AB=AC（已知）… H
一股 AD=AD（共用邊）… S
兩直角三角形的斜邊與一股對應相等 ⟹ 用 RHS 全等性質，直接得 △ABD ≅ △ACD。
檢查其他選項：AAA、SSA 皆不能判別全等；AAS 這裡缺少現成的第二組角，不如 RHS 直接。故選 (A)。

解析：全等說明：在 △ABD 與 △ACE 中，AB=AC（已知）、∠BAD=∠CAE（已知，同為 ∠A 附近的角、∠A 為共用角）、AD=AE（已知），由 SAS 得 △ABD ≅ △ACE。
求 ∠ADB：本題直接看 △ABD。
△ABD 內角和：∠ADB＝180°−∠BAD−∠ABD。
其中 ∠BAD＝∠BAC＝70°（D 在 AC 上，∠BAD 即頂角 ∠BAC），∠ABD＝40°。
∠ADB＝180°−70°−40°＝70°。
驗算：70°+40°+70°＝180° ✓。

解析：由全等，對應角相等：∠A＝∠D。
2x＋10＝3x−20 ⟹ x＝30。
代回：∠A＝2(30)＋10＝70°（∠D＝3(30)−20＝70°，一致）。
△ABC 內角和：∠C＝180°−∠A−∠B＝180°−70°−55°＝55°。
由對應 ∠F＝∠C＝55°。
驗算：△ABC 三角 70°+55°+55°＝180° ✓；∠A=∠D=70° 兩式相等 ✓。
答：∠A＝∠D＝70°，∠C＝∠F＝55°。

解析：證明：
在 △AOB 與 △DOC 中，
(1) AO＝DO　（已知，O 為 AD 的中點）… S
(2) ∠AOB＝∠DOC　（對頂角相等）… A（此角為兩邊夾角）
(3) BO＝CO　（已知，O 為 BC 的中點）… S
由 (1)(2)(3)，兩組邊及其夾角分別對應相等，
依 SAS 全等性質，得 △AOB ≅ △DOC。　（得證）

說明：夾角 ∠AOB 恰夾在 AO、BO 兩邊之間，∠DOC 夾在 DO、CO 之間，且兩角為對頂角必相等，故條件符合 SAS。

解析：E 在 BC 的中垂線 L 上，由中垂線性質知 E 到 B、C 兩端點等距，故 EB = EC。
△AEC 周長 = AE + EC + CA = AE + EB + CA = (AE+EB) + CA = AB + CA。
所以 AB + 8 = 21，得 AB = 13。
驗算：AB=13、AC=8，AE+EB=13，周長=AE+EC+CA=(AE+EB)+CA=13+8=21，正確。

解析：D 在 ∠ABC 的角平分線 BD 上，由角平分線性質知 D 到 ∠ABC 兩邊(BC、AB)的距離相等。
D 到 BC 的距離就是 DC(因 ∠C=90°，DC⊥BC)，D 到 AB 的距離就是 DE。
故 DE = DC = 5。
△ABD 以 AB 為底、DE 為高：面積 = 1/2 × AB × DE = 1/2 × 16 × 5 = 40。
驗算：底 16、高 5，面積 = 16×5÷2 = 40，正確。

解析：△ABC 為等腰三角形且 AB=AC，由等腰三角形性質「兩底角相等」知 ∠B = ∠C。
三角形內角和 180°：∠B + ∠C + ∠A = 180°。
2∠B = 180° − 50° = 130°，∠B = 65°。
驗算：65°+65°+50° = 180°，正確。

解析：先看 △ACD：CD=AD，為等腰三角形，等腰底角相等，故 ∠DAC = ∠C = 36°。
△ACD 外角：∠ADB = ∠DAC + ∠C = 36° + 36° = 72°(或由 ∠ADC=180°−36°−36°=108°，∠ADB=180°−108°=72°)。
再看 △ABD：AB=AD，為等腰三角形，等腰底角相等，∠B = ∠ADB = 72°。
驗算：△ABD 中 ∠B=∠ADB=72°，∠BAD=180°−144°=36°，各角合理，正確。

解析：P 在 AB 的中垂線 L 上，由中垂線性質知 P 到兩端點等距，故 PA = PB。
2x − 1 = x + 4，移項：2x − x = 4 + 1，x = 5。
代回：PA = 2×5 − 1 = 9(檢查 PB = 5+4 = 9，確實相等)。
驗算：x=5 時 PA=9、PB=9，PA=PB 成立，正確。

解析：由 ∠B=∠C：2x = x + 25，得 x = 25，故 ∠B = ∠C = 50°。
兩內角相等，由「等角對等邊」判別性質，此三角形為等腰三角形，且這兩個相等角所對的邊相等，即 AB = AC。
所以 3y − 2 = y + 6，2y = 8，y = 4。
AB = 3×4 − 2 = 10(檢查 AC = 4+6 = 10，相等)。
驗算：∠B=∠C=50° 時 AB=AC=10，等角對等邊成立，正確。

解析：D 在 ∠BAC 的角平分線 AP 上，由角平分線性質知 D 到角的兩邊距離相等，故 DB = DC。
3x − 4 = x + 8，2x = 12，x = 6。
DB = 3×6 − 4 = 14(檢查 DC = 6+8 = 14，相等)。
驗算：x=6 時 DB=DC=14，角平分線兩邊等距成立，正確。

解析：△BDE 中 BD=BE 為等腰三角形，底角相等：∠BDE = ∠BED = (180°−∠B)÷2 = (180°−70°)÷2 = 55°。
△CDF 中 CD=CF 為等腰三角形，底角相等：∠CDF = ∠CFD = (180°−∠C)÷2 = (180°−40°)÷2 = 70°。
D 在直線 BC 上，∠BDE + ∠EDF + ∠CDF = 180°(平角)。
∠EDF = 180° − 55° − 70° = 55°。
驗算：55°+55°+70° = 180°，正確。

解析：利用「對稱點最短路徑」：A、B 在 y 軸同側(x 座標皆正)，先取 A 對 y 軸的對稱點 A'(−3, 8)。
由中垂線(對稱軸)性質，y 軸上任一點 P 皆滿足 PA = PA'，故 PA + PB = PA' + PB。
當 P 落在線段 A'B 與 y 軸的交點時，PA' + PB 最小(三點共線，等於 A'B 長)。
求直線 A'B 與 y 軸交點：A'(−3,8)、B(5,−8)，斜率 = (−8−8)/(5−(−3)) = −16/8 = −2。
直線：y − 8 = −2(x+3)，即 y = −2x + 2。令 x=0，得 y = 2，故 P(0, 2)。
最小值 = A'B = √[(5−(−3))² + (−8−8)²] = √(8² + 16²) = √(64+256) = √320 = 8√5。
驗算：PA=√(3²+6²)=√45=3√5，PB=√(5²+10²)=√125=5√5，和=8√5=√320=8√5，正確。

解析：D 在 AB 的中垂線 L 上，由中垂線性質知 D 到 A、B 兩端點等距，故 DA = DB。
△ADC 周長 = AD + DC + CA。
把 AD 換成 DB：AD + DC = DB + DC = BC(因 D 在 BC 上，B、D、C 共線)= 10。
所以 △ADC 周長 = BC + CA = 10 + 7 = 17。
驗算：AD+DC=DB+DC=BC=10，再加 CA=7，共 17，正確。

解析：判別法：最長邊 < 其他兩邊之和 ⟹ 可構成三角形。
(A) 最長6，6+6=12>6 → 可。
(B) 最長5，2+3=5，不 > 5（剛好相等） → 不可，三點共線。
(C) 最長5，2+5=7>5 → 可。
(D) 最長0.5，0.3+0.4=0.7>0.5 → 可。
驗算：只有 (B) 兩短邊之和恰等於最長邊，作不出三角形。

解析：設第三邊為 x，須滿足 兩邊差 < x < 兩邊和。
兩邊差 = 10.7 − 6.6 = 4.1；兩邊和 = 10.7 + 6.6 = 17.3。
∴ 4.1 < x < 17.3。
(A) 4.1 → 等於下界，不符（> 才行）。
(B) 3.9 < 4.1 → 太小。
(C) 17.2 → 4.1 < 17.2 < 17.3 ✔。
(D) 17.3 → 等於上界，不符。
驗算：僅 17.2 落在開區間內。

解析：① x 為最短邊 ⟹ x < 12，此時最長邊為 15。
② 三角形不等式（配合最長邊15）：15 − 12 < x，即 x > 3。
③ 銳角三角形 ⟹ 最長邊15 的對角為銳角，需兩短邊平方和 > 最長邊平方：
　12² + x² > 15² ⟹ 144 + x² > 225 ⟹ x² > 81 ⟹ x > 9。
綜合 ①②③：9 < x < 12。
驗算：取 x=10，邊 10,12,15：10²+12²=244 > 225 → 銳角 ✔，且10為最短 ✔。

解析：利用大邊對大角：每個角的大小由它的對邊決定。
∠A 的對邊為 BC=6；∠B 的對邊為 CA=7；∠C 的對邊為 AB=5。
對邊由大到小：CA(7) > BC(6) > AB(5)。
∴ 所對的角由大到小：∠B > ∠A > ∠C。
驗算：最長邊 CA=7 對 ∠B（最大），最短邊 AB=5 對 ∠C（最小），合理。

解析：以對角線 AC 分成兩個三角形，各自用大角對大邊。
△ABC 中：∠BAC = 180° − 55° − 65° = 60°。角由大到小 ∠BCA(65°) > ∠BAC(60°) > ∠ABC(55°)，對邊：AB > BC > AC。
△ACD 中：∠DAC = 180° − 55° − 65° = 60°。角由大到小 ∠ADC(65°) > ∠DAC(60°) > ∠DCA(55°)，對邊：AC > CD > AD。
串起來：AB > BC > AC > CD > AD。
∴ AB 最長。驗算：AB 對 65°、AC 對 60°，故 AB > AC，再由第二式 AC 大於 CD、AD，故 AB 為最大。

解析：三地不共線 ⟹ 三段可構成三角形，設家到學校為 d。
由三角形不等式：兩邊差 < d < 兩邊和。
3.4 − 1.2 = 2.2，3.4 + 1.2 = 4.6 ⟹ 2.2 < d < 4.6。
(A) 3.5 → 2.2 < 3.5 < 4.6 ✔。
(B) 2 < 2.2 → 太小。
(C) 2.2 → 等於下界，會共線，不符。
(D) 4.6 → 等於上界，會共線，不符。
驗算：僅 3.5 嚴格落在開區間內。

解析：三線段由大到小為 x−2 > x−3 > x−4，最長邊為 x−2。
① 每段須為正：最短邊 x−4 > 0 ⟹ x > 4。
② 構成三角形只需最長邊 < 其他兩邊之和：
　x−2 < (x−3) + (x−4) = 2x−7
　x−2 < 2x−7 ⟹ 5 < x ⟹ x > 5。
綜合 x > 5（已含 x > 4）。
驗算：取 x=6，三邊 4、3、2，3+2=5 > 4 ✔；取 x=5 則三邊 3、2、1，1+2=3 恰等於3，不成三角形，故須嚴格 x > 5。

解析：對角線 BD 同時是 △ABD 與 △BCD 的一邊，需兩邊都滿足三角形不等式。
△ABD（AB=AD=5）：|5−5| < BD < 5+5 ⟹ 0 < BD < 10。
△BCD（BC=8、CD=3）：|8−3| < BD < 8+3 ⟹ 5 < BD < 11。
取交集：5 < BD < 10。
BD 為整數 ⟹ BD ∈ {6,7,8,9}，最大值為 9。
驗算：BD=9 時，△ABD:9<10 ✔；△BCD:5<9<11 ✔；BD=10 則不 < 10，出局。

解析：AC 是 △ABC 與 △ACD 的公共邊，兩三角形都要滿足三角形不等式。
△ABC（AB=24、BC=12）：|24−12| < AC < 24+12 ⟹ 12 < AC < 36。
△ACD（CD=20、AD=14）：|20−14| < AC < 20+14 ⟹ 6 < AC < 34。
取交集：12 < AC < 34。
(2) 整數 AC ∈ {13,14,…,33}，故最小值 13、最大值 33。
驗算：AC=13 時，△ABC:12<13<36 ✔、△ACD:6<13<34 ✔；AC=33 時，△ABC:33<36 ✔、△ACD:33<34 ✔；AC=34 則不 < 34，出局。

解析：設最長邊為 c、兩短邊為 a、b，比較 a²+b² 與 c²：
‧ a²+b² = c² ⟹ 直角三角形（c 的對角為直角）
‧ a²+b² < c² ⟹ 鈍角三角形（c 的對角為鈍角）
‧ a²+b² > c² ⟹ 銳角三角形

(1) 7²+24² = 49+576 = 625 = 25² ⟹ 相等 ⟹ 直角三角形。
(2) 6²+8² = 36+64 = 100，11² = 121；100 < 121 ⟹ 鈍角三角形。
(3) 5²+12² = 25+144 = 169，最長邊 12²=144；169 > 144 ⟹ 銳角三角形。
驗算：三題最長邊各為 25、11、12，平方比較無誤。