國二下 第4章「平行與四邊形」 · 分節互動練習

解析：以截線 M 分左右、以 L₁L₂ 分內外判斷：
‧ 同位角＝位置對應相同：∠2 與 ∠6（皆在截線右上位置對應），(A) 正確。
‧ 內錯角＝內側且分居截線兩側：∠4（L₁ 內側右）與 ∠5（L₂ 內側左），(B) 正確。
‧ 同側內角＝內側且同一側：∠4 與 ∠6 皆在截線右側之內側，(C) 正確。
‧ ∠3（L₁ 內側左）與 ∠5（L₂ 內側左）同在截線左側 → 這是同側內角，不是內錯角，故 (D) 錯誤。
驗算：與 ∠3 成內錯角者應為 ∠6（右側內側），非 ∠5。

解析：平行的判別法只有三種：同位角相等、內錯角相等、同側內角互補。
(A) ∠1、∠2 是同一交點的鄰補角，不論是否平行都＝180°，無法判別。
(B) ∠4（L₁ 交點右下）與 ∠6（L₂ 交點右下）是位置對應相同的同位角，同位角相等 → L₁∥L₂，可判別。
(C) ∠3 與 ∠6 是內錯角，必須「相等」才平行；本選項寫成「和＝180°」，條件不對，無法判別。
(D) ∠2 與 ∠7 不是一組標準截角關係，無法判別。
故選 (B)。
驗算：同位角相等是最直接的平行判別條件 ✓。

解析：過折點 B 作一條輔助線 L₃∥L₁∥L₂（虛線）。
‧ L₃∥L₁：AB 為截線，∠1 與「BA 和 L₃ 的夾角」為內錯角相等，故此夾角＝∠1＝50°。
‧ L₃∥L₂：CB 為截線，∠2 與「BC 和 L₃ 的夾角」為內錯角相等，故此夾角＝∠2＝60°。
輔助線把 ∠ABC 剛好分成這兩個角：
∠ABC ＝ 50° ＋ 60° ＝ 110°。
驗算：折點向左凸出時 ∠ABC＝∠1＋∠2，50＋60＝110 ✓。

解析：過 B 作輔助線 L₃∥L₁∥L₂。
‧ ∠1＝140° 是 AB 與 L₁ 上側的角，AB 與 L₃ 的內錯角＝與 L₁ 下側同位角＝180°－140°＝40°。
‧ CB 與 L₃ 的夾角＝∠2 的內錯角＝55°。
∠ABC ＝ 40° ＋ 55° ＝ 95°。
驗算：改用同側內角，∠1 下側＝40°、∠2＝55°，兩者被輔助線分開相加＝95° ✓。

解析：在每個折點都作一條 L、M 的平行輔助線，把每個角拆成上、下兩個內錯角。
‧ ∠1 貼著 L，∠5 貼著 L：這兩個角＝各自那段折線與 L 的夾角。
‧ ∠2、∠4 是碰到 M 的折角，∠3 是碰到 L 的折角，每個都被輔助線拆成「左段的內錯角＋右段的內錯角」。
把所有內錯角依折線走向串起來，等於折線從 L 出發、碰 M、回 L、再碰 M、回 L 所轉的總量。此鋸齒為「上下各兩次」的往返，恰好累計成兩個平角：
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5 ＝ 2×180° ＝ 360°。
驗算：取對稱情形，每段折線與鉛垂線各成 45°，則 ∠1＝∠5＝45°、∠2＝∠3＝∠4＝90°，總和＝45＋90＋90＋90＋45＝360° ✓。

解析：(1) AE∥BF（在 L、M 上），AB 為截線，∠EAB 與 ∠ABF 為同側內角互補：∠EAB＋∠ABF＝180°。
AC、BC 各平分之，∠CAB＝(1/2)∠EAB、∠CBA＝(1/2)∠ABF，故 ∠CAB＋∠CBA＝(1/2)(∠EAB＋∠ABF)＝90°。
△ABC 內角和：∠ACB＝180°－90°＝90°。
(2) 在 △BCD 中，∠BCD＝90°、∠D＝25°，由三角形內角和：
∠CBD＝180°－90°－25°＝65°。
驗算：(1) 半和法 90° ✓；(2) 90＋25＋65＝180° ✓。

解析：兩平行線間距離處處相等，設此距離（高）為 h。
△ABD 以 AB 為底、頂點 D 在 L₁：面積＝(1/2)·AB·h＝(1/2)·5·h＝30 → 5h＝60 → h＝12。
△ACE 以 AC 為底、頂點 E 在 L₁：AC＝AB＋BC＝5＋4＝9。
面積＝(1/2)·AC·h＝(1/2)·9·12＝54。
驗算：底由 5 變 9（×9/5），面積 30×9/5＝54 ✓。（同底等高、平行線等距是關鍵）

解析：C 在最下方（右下），射線 CB、CA 都朝上。過 C 作一條平行 L₁、L₂ 的輔助線 X。
CB 與 X 的夾角＝∠1＝25°（X∥L₂，內錯角相等）。
CA 與 X 的夾角＝∠2（X∥L₁，內錯角相等）。
CB、CA 都在 X 的上側，且 CA 比 CB 更接近鉛直，故頂角 ∠ACB 是兩者之差：∠ACB＝∠2－∠1。
正三角形 ∠ACB＝60°，所以 ∠2＝∠1＋60°＝25°＋60°＝85°。
座標驗算：設 B(0,0)、BC 朝 −25° 方向、正三角形 → A 在 +35° 方向，算得 AC 與水平線夾角＝85.0°，與答案一致 ✓。

解析：L∥M 時，一組同側內角互補：∠1＋∠2＝180°。
(2x＋5)＋(4x－5)＝180
6x＝180
x＝30。
(2) ∠1＝2x＋5＝2×30＋5＝65°。
驗算：∠2＝4×30－5＝115°，65°＋115°＝180° ✓（同側內角互補成立）。

解析：若兩直線平行，同側內角應互補（和＝180°）。今 65°＋100°＝165°≠180°，故兩直線不平行，延長後會相交。
兩直線與截線在同側圍出一個三角形。把兩條被截直線各自延長，交點處的夾角 θ 可用「同側內角和與 180° 的差」求得：平行時同側內角和恰為 180°，每偏離 1° 就使兩線多張開 1°。
θ ＝ |180° －(65°＋100°)| ＝ |180°－165°| ＝ 15°。
驗算：以座標作圖，上線交點內角取 65°、下線 100°，實測兩線方向夾角＝15° ✓；且同側內角和越接近 180°（越接近平行）交角越小，合理。

解析：平行四邊形對角相等：∠A＝∠C。
x＋30＝2x−10 → x＝40。
∠A＝40＋30＝70°。
鄰角互補：∠A＋∠B＝180° → ∠B＝180−70＝110°。
驗算：∠C＝2×40−10＝70°＝∠A ✓，∠B＝∠D＝110°，四角和＝70+110+70+110＝360° ✓。

解析：逐項檢查（已知一組對邊 AB∥CD）：
(A) 一雙對邊「平行且相等」→ 是平行四邊形。
(B) 兩雙對邊分別平行（定義）→ 是平行四邊形。
(C) ∠A＋∠B＝180° 與 ∠B＋∠C＝180° 相減得 ∠A＝∠C；同理可得 ∠B＝∠D，兩雙對角分別相等 → 是平行四邊形。
(D) 一組對邊「平行」（AB∥CD）、另一組對邊「相等」（AD＝BC）— 這不是五種判別的任何一種，此圖可能是等腰梯形，故無法判定。
答案：(D)。

解析：設 BC＝AD＝a、AB＝CD＝b（對邊相等）。
「AB 比 BC 多 6」：b＝a＋6。
「CD 是 AD 的 1.5 倍」：b＝1.5a。
由 1.5a＝a＋6 → 0.5a＝6 → a＝12，b＝18。
周長＝2(a＋b)＝2(12＋18)＝60 公分。
驗算：AB＝18＝12＋6 ✓，CD＝18＝1.5×12 ✓。

解析：對角線互相平分：OA＝OC＝6，OB＝OD＝8。
(1) 因 AC⊥BD，△AOB 為直角三角形，邊 AB＝√(OA²＋OB²)＝√(6²＋8²)＝√100＝10。
四邊皆由「半對角線 6、8」構成的直角三角形斜邊，故四邊都是 10（此即菱形），周長＝4×10＝40 公分。
(2) 對角線互相垂直的四邊形，面積＝(1/2)·AC·BD。AC＝2×6＝12，BD＝2×8＝16。
面積＝(1/2)×12×16＝96 平方公分。
驗算：亦可用 4 個全等直角三角形，4×(1/2×6×8)＝96 ✓。

解析：平行四邊形內任一點 P，對邊兩側的兩三角形面積和相等：
△ABP＋△CDP＝△BCP＋△ADP（各等於平行四邊形面積的一半）。
理由：△ABP 與 △CDP 分別以對邊 AB、CD 為底，兩底相等且高之和＝AB 到 CD 的距離；同理另一對。
代入：9＋15＝11＋△ADP → 24＝11＋△ADP → △ADP＝13。
驗算：兩側和皆為 24，平行四邊形總面積＝48 ✓。答案 (B)。

解析：▱ABCD 中對角線 AC 與 BD 互相平分，故 AC 中點＝BD 中點。
AC 中點＝((1＋8)/2,(2＋7)/2)＝(4.5, 4.5)。
設 D(x, y)，BD 中點＝((6＋x)/2,(2＋y)/2)＝(4.5, 4.5)。
解得 x＝3、y＝7，即 D(3, 7)。
驗算：向量 AB＝(5, 0)，向量 DC＝C−D＝(8−3, 7−7)＝(5, 0)＝AB，故 AB∥DC 且 AB＝DC ✓。

解析：(1) AE 平分 ∠DAB，故 ∠DAE＝∠BAE。
因 AD∥BC，AE 為截線，∠DAE 與 ∠AEB 為內錯角，∴ ∠DAE＝∠AEB。
由上兩式得 ∠BAE＝∠AEB，兩底角相等 → BE＝AB，△ABE 為等腰三角形。
(2) BE＝AB＝7；又 BC＝11，故 EC＝BC−BE＝11−7＝4。
驗算：BE＝7＝AB ✓，EC＝11−7＝4 ✓。

解析：平行四邊形對邊相等：AB＝CD，BC＝AD。
AB＝CD：−y＋8＝4y−17 → 25＝5y → y＝5，得 AB＝−5＋8＝3。
BC＝AD：2x−1＝3x−4 → x＝3，得 BC＝2×3−1＝5。
周長＝2(AB＋BC)＝2(3＋5)＝16。
驗算：CD＝4×5−17＝3＝AB ✓，AD＝3×3−4＝5＝BC ✓。答案 (A)。

解析：對角線互相平分：OB＝(1/2)BD＝12。
因 AC⊥BD，△BOC 為直角三角形，OC＝√(BC²−OB²)＝√(13²−12²)＝√(169−144)＝√25＝5。
故 AC＝2×OC＝10。
對角線互相垂直，面積＝(1/2)·AC·BD＝(1/2)×10×24＝120。
驗算：5²＋12²＝25＋144＝169＝13² ✓（畢氏成立）。

解析：平行四邊形對角相等：∠A＝∠C，∠B＝∠D。
∠A＝∠C：2x＋3y＝3x＋y → 2y＝x …(1)。
又鄰角互補：∠A＋∠B＝180° → (2x＋3y)＋2y＝180 → 2x＋5y＝180 …(2)。
將 (1) x＝2y 代入 (2)：2(2y)＋5y＝180 → 9y＝180 → y＝20，x＝2×20＝40。
驗算：∠A＝2×40＋3×20＝140°，∠C＝3×40＋20＝140°（∠A＝∠C ✓）；∠B＝2×20＝40°，∠D＝40°（∠B＝∠D ✓）；四角和＝140＋40＋140＋40＝360° ✓。
答：x＝40，y＝20。

解析：逐項檢查對角線性質：
‧ 兩對角線等長的四邊形：正方形a、長方形b、等腰梯形e（菱形c 對角線一般不等長）。
  → 正確答案應為 a、b、e，選項(C)寫成 a、b、c 是錯的。
‧ 兩對角線互相垂直的四邊形：正方形a、菱形c、箏形f，(D)正確。
‧ a、b、c、d 都是平行四邊形，具「兩雙對邊分別相等」「兩雙對角分別相等」，(A)(B)正確。
故不完全正確者為(C)。

解析：‧ 菱形：對角線互相垂直平分（一定垂直）。
‧ 箏形：一條對角線垂直平分另一條（一定垂直）。
‧ 正方形＝菱形＋長方形，對角線互相垂直平分（一定垂直）。
‧ 平行四邊形：對角線只保證互相平分，不一定垂直（除非它剛好是菱形）。
故選(B)。

解析：菱形兩對角線互相垂直平分，交於 O。
OA＝(1/2)AC＝(1/2)×6＝3，OB＝(1/2)BD＝(1/2)×10＝5。
△AOB 為直角三角形（對角線互相垂直），由畢氏定理求邊長：
AB＝√(OA²＋OB²)＝√(3²＋5²)＝√(9＋25)＝√34。
菱形四邊等長，周長＝4×AB＝4√34。
驗算：√34≈5.83，周長≈4×5.83＝23.3；(2√34)²＝136、(4√34)²＝544，取整條邊 4 段故為 4√34 ✓。故選(D)。

解析：長方形的兩對角線相等。取對角線 AC，△ABC 為直角三角形（∠B＝90°）。
AC＝√(AB²＋BC²)＝√(10²＋8²)＝√(100＋64)＝√164＝√(4×41)＝2√41。
兩對角線都等於 2√41，總和＝2×2√41＝4√41（公分）。
驗算：√164≈12.81，兩條和≈25.6；4√41＝4×6.40＝25.6 ✓。

解析：正方形也是菱形（對角線互相垂直平分），可用「對角線積÷2」求面積。
正方形兩對角線相等，皆為 12。
面積＝(1/2)×對角線×對角線＝(1/2)×12×12＝(1/2)×144＝72。
故選(A)。

解析：箏形中，AB＝AD、CB＝CD，對角線 AC 垂直平分 BD 於 O。
(1) 因 AB＝15、BC＝20、AC＝25，且 15²＋20²＝225＋400＝625＝25²，可知 △ABC 為直角三角形，∠ABC＝90°。
  O 為 B 到斜邊 AC 的垂足，BO＝(兩股乘積)÷斜邊＝(15×20)÷25＝300÷25＝12。
  因 AC 平分 BD，故 BD＝2×BO＝2×12＝24。
(2) 對角線互相垂直，面積＝(1/2)×AC×BD＝(1/2)×25×24＝300。
驗算：(1/2)×25×24＝(1/2)×600＝300 ✓。

解析：先求兩腰中點連線段 EF：梯形兩腰中點連線＝(上底＋下底)/2。
EF＝(AD＋BC)/2＝(8＋20)/2＝28/2＝14。
再看上方小梯形 ADFE（AD∥EF，AG、DH 為兩腰 AE、DF 的中點連線）：
GH＝(AD＋EF)/2＝(8＋14)/2＝22/2＝11。
驗算：(8＋14)/2＝11 ✓。

解析：(1) 梯形面積＝(上底＋下底)/2 × 高＝兩腰中點連線段長 × 高。
  面積＝10×12＝120（平方公尺）。
(2) 中線＝(上底＋下底)/2＝10，故 AD＋BC＝20。
  又 BC－AD＝4。兩式相加：2·BC＝24，BC＝12；再代回 AD＝20－12＝8。
  故 AD＝8 公尺、BC＝12 公尺。
驗算：(8＋12)/2＝10＝中線 ✓；面積＝(8＋12)/2×12＝10×12＝120 ✓。

解析：(1) 等腰梯形的兩底角相等，∠ABC 與 ∠BCD 為下底的一對底角，故相等：
  4x－14＝3x＋2 → 4x－3x＝2＋14 → x＝16。
(2) 代入 ∠ABC＝4×16－14＝64－14＝50°。
  因 AD∥BC，同一腰 CD 上的同側內角互補：∠BCD＋∠ADC＝180°，而 ∠BCD＝∠ABC＝50°。
  ∠ADC＝180°－50°＝130°。
驗算：3×16＋2＝50°＝∠BCD ✓；50°＋130°＝180° ✓。

解析：作高 AE⊥BC。等腰梯形左右對稱，下底比上底多出的部分平均分在兩側。
(1) 上、下底差＝BC－AD＝24－8＝16，左側水平段 BE＝16÷2＝8。
(2) 求對角線 BD：D 在上底，A、D 同高。E 為 A 的垂足，DE 的水平投影＝BE＋AD＝8＋8＝16（因 AD＝8 平行於 BC）。
  △BED 為直角三角形，水平股＝16、鉛直股＝高＝12：
  BD＝√(16²＋12²)＝√(256＋144)＝√400＝20。
驗算：16²＋12²＝256＋144＝400＝20² ✓。（也可由等腰梯形兩對角線相等，AC＝BD＝20。）