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選擇3-1-2📄 會考·113年🖨 第 2 頁
下列何者為多項式 5x(5x-2)-4(5x-2)² 的因式分解？
(A) (5x-2)(25x-8)
(B) (5x-2)(5x-4)
(C) (5x-2)(-15x+8)
(D) (5x-2)(-20x+4)
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(C) (5x-2)(-15x+8)
解析：5x(5x-2)-4(5x-2)²
=(5x-2)[5x-4(5x-2)]
=(5x-2)(5x-20x+8)
=(5x-2)(-15x+8)
故選【C】。
選擇3-1-3📄 改編·中小學題庫🖨 第 3 頁
將多項式 3x²y − 6xy² + 9xy 因式分解，結果為下列何者？
(A) 3xy(x − 2y + 3)
(B) 3xy(x − 2y + 9)
(C) 3x(x − 2y + 3)
(D) 3xy(x − 2y − 3)
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：3xy(x − 2y + 3)
解析：步驟一：找最大公因式
三項 3x²y、−6xy²、9xy 的係數 3、6、9 最大公因數為 3；文字部分共同含有 x 與 y，故公因式為 3xy。
步驟二：逐項相除
3x²y ÷ 3xy = x
−6xy² ÷ 3xy = −2y
9xy ÷ 3xy = 3
所以 3x²y − 6xy² + 9xy = 3xy(x − 2y + 3)。
驗算（乘回去）：3xy × x = 3x²y，3xy × (−2y) = −6xy²，3xy × 3 = 9xy，相加正好還原，答案正確。
誘答分析：選「+9」是最後一項忘了除以 3xy；選「3x(…)」是漏抽公因式 y；選「−3」是末項符號抄錯。
填充3-1-4📄 改編·中小學題庫🖨 第 3 頁
將 2x³ − 8x 徹底因式分解（分解到不能再分為止）。
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：2x(x + 2)(x − 2)
解析：步驟一：先提公因式
2x³ 與 8x 的公因式為 2x，故 2x³ − 8x = 2x(x² − 4)。
步驟二：括號內用平方差公式
x² − 4 = x² − 2² = (x + 2)(x − 2)。
因此 2x³ − 8x = 2x(x + 2)(x − 2)。
驗算（乘回去）：(x + 2)(x − 2) = x² − 4；再乘 2x 得 2x³ − 8x，與原式相同，答案正確。
重點：先提公因式、再看能否套平方差，是「徹底分解」的關鍵，不可只寫成 2x(x² − 4)。
計算3-1-5📄 改編·中小學題庫🖨 第 3 頁
利用分組並配合公式，將 x² + 6x + 9 − y² 因式分解，並寫出過程。
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(x + 3 + y)(x + 3 − y)
解析：步驟一：分組
前三項 x² + 6x + 9 可湊成完全平方，先分成 (x² + 6x + 9) − y²。
步驟二：完全平方公式
x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)²。
原式變成 (x + 3)² − y²。
步驟三：平方差公式
令 A = x + 3，則 A² − y² = (A + y)(A − y) = (x + 3 + y)(x + 3 − y)。
驗算（乘回去）：(x + 3 + y)(x + 3 − y) = (x + 3)² − y² = x² + 6x + 9 − y²，與原式相同，答案正確。
重點：看到「三項能湊完全平方，再減一個平方」時，先湊完全平方、再用平方差。
選擇3-1-6📄 改編·中小學題庫🖨 第 4 頁
將 -12a³b² + 18a²b³ 因式分解，結果為何？
(A) -6a²b²(2a - 3b)
(B) -6a²b²(2a + 3b)
(C) 6a²b²(2a - 3b)
(D) -6ab(2a²b - 3ab²)
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：-6a²b²(2a - 3b)
解析：兩項係數 -12、18 的最大公因數為 6，含負號時習慣提出 -6；字母部分取最低次方 a²b²，故公因式為 -6a²b²。
-12a³b² ÷ (-6a²b²) = 2a
18a²b³ ÷ (-6a²b²) = -3b
得 -6a²b²(2a - 3b)。
驗算：-6a²b²·2a = -12a³b²，-6a²b²·(-3b) = 18a²b³，相加即原式，正確。
誘答提醒：選項「-6ab(2a²b - 3ab²)」雖乘回也等於原式，但公因式沒提乾淨，不算完全分解。
填充3-1-8📄 改編·中小學題庫🖨 第 5 頁
將 9x² - 30xy + 25y² 因式分解。
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(3x - 5y)²
解析：觀察首項 9x² = (3x)²、末項 25y² = (5y)²，兩者皆為完全平方。
檢查中間項是否為 2·(3x)·(5y) = 30xy，且原式為「-30xy」，符合 a² - 2ab + b² = (a - b)²。
故 = (3x - 5y)²。
驗算：(3x - 5y)² = 9x² - 2·3x·5y + 25y² = 9x² - 30xy + 25y²，與原式相同，正確。
計算3-1-9📄 改編·中小學題庫🖨 第 6 頁
將 (2x + 1)² - (x - 2)² 因式分解。
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(3x - 1)(x + 3)
解析：把 (2x+1) 與 (x-2) 各看成一個整體，套用平方差 A² - B² = (A + B)(A - B)。
A + B = (2x+1) + (x-2) = 3x - 1
A - B = (2x+1) - (x-2) = 2x + 1 - x + 2 = x + 3
故 = (3x - 1)(x + 3)。
驗算：(3x - 1)(x + 3) = 3x² + 9x - x - 3 = 3x² + 8x - 3。
另從原式展開：(2x+1)² - (x-2)² = (4x²+4x+1) - (x²-4x+4) = 3x² + 8x - 3，兩者相同，正確。
選擇3-1-10📄 改編·中小學題庫🖨 第 6 頁
將 x³ + 2x² - 9x - 18 因式分解，結果為何？
(A) (x + 2)(x + 3)(x - 3)
(B) (x + 2)(x² - 9)
(C) (x - 2)(x + 3)(x - 3)
(D) (x + 2)(x² + 9)
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(x + 2)(x + 3)(x - 3)
解析：四項先分組：前兩項提 x²、後兩項提 -9。
x²(x + 2) - 9(x + 2)，兩組出現共同因式 (x + 2)。
提出得 (x + 2)(x² - 9)，而 x² - 9 = (x + 3)(x - 3) 仍可再分解。
故 = (x + 2)(x + 3)(x - 3)。
驗算：(x+3)(x-3) = x²-9，再乘 (x+2) 得 x³ + 2x² - 9x - 18，與原式相同，正確。
誘答提醒：停在 (x+2)(x²-9) 未分解完全；x²+9 不能再分解，選它是把平方差記錯號。
3-2 利用十字交乘法因式分解
x²+bx+c 型 ‧ ax²+bx+c 型十字交乘
選擇3-2-1📄 會考·108年🖨 第 7 頁
若多項式 5x²+17x−12 可因式分解成 (x+a)(bx+c)，其中 a、b、c 均為整數，則 a+c 之值為何？
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(A) 1
解析：5x²+17x−12=(x+4)(5x−3)
（十字交乘：x 與 +4、5x 與 −3，交叉相乘得 20x 與 3x，相加 =17x）
和 (x+a)(bx+c) 比較後得 a=4，b=5，c=−3，
故 a+c=4+(−3)=1。
故選 (A)。
選擇3-2-2📄 會考·111年🖨 第 7 頁
多項式 39x²+5x−14 可因式分解成 (3x+a)(bx+c)，其中 a、b、c 均為整數，求 a+2c 之值為何？
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(A) −12
解析：利用十字交乘法因式分解
39x²+5x−14=(3x+2)(13x−7)
∴ a=2，b=13，c=−7
a+2c=2+(−14)=−12
故選 (A)。
選擇3-2-3📄 改編·中小學題庫🖨 第 8 頁
利用十字交乘法將 x² − 2x − 15 因式分解，結果為下列何者？
(A) (x − 5)(x + 3)
(B) (x + 5)(x − 3)
(C) (x − 5)(x − 3)
(D) (x − 15)(x + 1)
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(x − 5)(x + 3)
解析：十字交乘思路：找兩數相乘等於常數 −15、相加等於一次項係數 −2。
試 −5 與 +3：(−5) × 3 = −15（符合），(−5) + 3 = −2（符合）。
故 x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3)。
驗算（乘回去）：(x − 5)(x + 3) = x² + 3x − 5x − 15 = x² − 2x − 15，與原式相同，答案正確。
誘答分析：(x + 5)(x − 3) 展開為 x² + 2x − 15（中間項符號相反）；(x − 5)(x − 3) 展開為 x² − 8x + 15（常數符號錯）；(x − 15)(x + 1) 展開為 x² − 14x − 15（相加不等於 −2）。
計算3-2-4📄 改編·中小學題庫🖨 第 8 頁
利用十字交乘法將 6x² + x − 12 因式分解，並寫出你的十字交乘配對。
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(2x + 3)(3x − 4)
解析：十字交乘設定：二次項 6x² 拆成 2x 與 3x；常數 −12 拆成 +3 與 −4。
交叉相乘再相加，檢查是否等於一次項 +x：
2x × (−4) = −8x，3x × (+3) = +9x，兩者相加 −8x + 9x = +x（符合）。
故 6x² + x − 12 = (2x + 3)(3x − 4)。
驗算（乘回去）：(2x + 3)(3x − 4) = 6x² − 8x + 9x − 12 = 6x² + x − 12，與原式相同，答案正確。
重點：ax² 型十字交乘要同時試「係數拆法」與「常數拆法」，並用交叉相乘和 = 一次項來檢驗。
填充3-2-5📄 改編·中小學題庫🖨 第 8 頁
一個長方形的面積為 (2x² + 7x + 3) 平方公分，且各邊長皆可用 x 的一次式表示。請問這個長方形的兩邊長分別是多少？（x 為正整數）
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(2x + 1) 公分與 (x + 3) 公分
解析：觀念：長方形面積 = 長 × 寬，故把面積式因式分解，兩個因式就是兩邊長。
十字交乘：2x² 拆成 2x 與 x；常數 3 拆成 +1 與 +3。
交叉相乘和：2x × 3 = 6x，x × 1 = x，相加 6x + x = 7x（等於一次項，符合）。
故 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3)。
驗算（乘回去）：(2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3，與面積式相同，答案正確。
所以兩邊長為 (2x + 1) 公分與 (x + 3) 公分。
選擇3-2-6📄 改編·中小學題庫🖨 第 9 頁
將 x² - 7x + 12 因式分解，結果為何？
(A) (x - 3)(x - 4)
(B) (x + 3)(x + 4)
(C) (x - 2)(x - 6)
(D) (x - 1)(x - 12)
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(x - 3)(x - 4)
解析：十字交乘：首項 x² 拆成 x 與 x；找兩數相乘 = +12、相加 = -7。
常數項為正、一次項為負，兩數同為負：-3 與 -4，(-3)×(-4)=12、(-3)+(-4)=-7，符合。
故 = (x - 3)(x - 4)。
驗算：(x - 3)(x - 4) = x² - 4x - 3x + 12 = x² - 7x + 12，與原式相同，正確。
誘答提醒：(x-2)(x-6) 乘積雖為 12 但和為 -8；(x-1)(x-12) 和為 -13，皆不合。
選擇3-2-7📄 改編·中小學題庫🖨 第 9 頁
將 6x² + x - 12 因式分解，結果為何？
(A) (2x + 3)(3x - 4)
(B) (2x - 3)(3x + 4)
(C) (2x + 4)(3x - 3)
(D) (x + 3)(6x - 4)
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(2x + 3)(3x - 4)
解析：首項 6x² 拆成 2x、3x；末項 -12 拆成 +3、-4。
十字交叉相乘再相加，驗證一次項：2x×(-4) + 3x×3 = -8x + 9x = x，正好等於原式的一次項 +x。
故 = (2x + 3)(3x - 4)。
驗算：(2x + 3)(3x - 4) = 6x² - 8x + 9x - 12 = 6x² + x - 12，與原式相同，正確。
誘答提醒：(2x-3)(3x+4) 的一次項為 8x-9x = -x，符號錯；(2x+4)(3x-3) 展開為 6x²+6x-12；(x+3)(6x-4) 為 6x²+14x-12，皆不合。
填充3-2-8📄 改編·中小學題庫🖨 第 10 頁
將 x² - 2xy - 15y² 因式分解。
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：(x - 5y)(x + 3y)
解析：視為 x 的二次式，末項 -15y² 中要找兩個含 y 的數，乘積 = -15y²、相加（配 x）= -2xy。
-5y 與 +3y：(-5y)×(3y) = -15y²、(-5y)+(3y) = -2y，符合。
故 = (x - 5y)(x + 3y)。
驗算：(x - 5y)(x + 3y) = x² + 3xy - 5xy - 15y² = x² - 2xy - 15y²，與原式相同，正確。
計算3-2-9📄 改編·中小學題庫🖨 第 10 頁
利用因式分解，求當 x = 48 時，x² + 5x + 6 的值。
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：2550
解析：先因式分解：找兩數相乘 = 6、相加 = 5，即 2 與 3，故 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
代入 x = 48：(48 + 2)(48 + 3) = 50 × 51 = 2550。
驗算（直接代入）：48² + 5×48 + 6 = 2304 + 240 + 6 = 2550，與上式相同，正確。
重點：先分解再代數字，可把繁瑣平方運算變成簡單乘法。
選擇3-2-10📄 改編·中小學題庫🖨 第 10 頁
若 2x² + kx - 15 可分解為 (2x - 3)(x + 5)，則 k 的值為何？
✎ 計算 / 作答區
✅ 答案：7
解析：把已知因式乘開：(2x - 3)(x + 5) = 2x² + 10x - 3x - 15 = 2x² + 7x - 15。
與 2x² + kx - 15 逐項比對，一次項係數相等，故 k = 7。
驗算：k = 7 時原式為 2x² + 7x - 15，恰能分解為 (2x - 3)(x + 5)，正確。
誘答提醒：只算 2×5 - 3 = 7 是對的；忘了 2×5 誤算成 -3+... 會得到 3；符號整組看反則得 -7。
