國二上 第1章 乘法公式與多項式 · 會考分節練習 · 分節互動練習

解析：由 (a+b)²=a²+2ab+b²、(a−b)²=a²−2ab+b² 可知，
300²=(248+52)²=248²+2×248×52+52²
200²=(248−48)²=248²−2×248×48+48²
∴(C)成立。
故選 (C)。

解析：(A) (106²-4²)×(108²-2²)=(106+4)×(106-4)×(108+2)×(108-2)=110×102×110×106
(B) (107²-3²)×(107²-1²)=(107+3)×(107-3)×(107+1)×(107-1)=110×104×108×106
(C) (108²-2²)×(106²-2²)=(108+2)×(108-2)×(106+2)×(106-2)=110×106×108×104
(D) (109²-1²)×(105²-1²)=(109+1)×(109-1)×(105+1)×(105-1)=110×108×106×104
只有 (A) 和其他選項不同
故選【A】。

解析：利用完全平方公式 (a-b)² = a²-2ab+b²。
令 a=2x、b=3：
a² = (2x)² = 4x²
2ab = 2·(2x)·3 = 12x
b² = 3² = 9
故 (2x-3)² = 4x²-12x+9。
常見誘答 4x²-9 是誤把它當成平方差；4x²-6x+9 則是中間項少乘一個 2。

解析：(1) 把 103 拆成 100+3，用完全平方公式：
103² = (100+3)² = 100² + 2·100·3 + 3²
= 10000 + 600 + 9 = 10609。
(2) 49 與 51 對稱於 50，用平方差公式 (a-b)(a+b)=a²-b²：
49×51 = (50-1)(50+1) = 50² - 1²
= 2500 - 1 = 2499。

解析：由完全平方公式 (a+b)² = a²+2ab+b²，移項可得：
a²+b² = (a+b)² - 2ab。
代入 a+b=7、ab=10：
a²+b² = 7² - 2·10 = 49 - 20 = 29。
驗算：若取 a=2、b=5，則 a+b=7、ab=10，a²+b²=4+25=29，吻合。

解析：完全平方公式 (a−b)² = a²−2ab+b²。
令 a=3x、b=4：
a² = (3x)² = 9x²
2ab = 2·(3x)·4 = 24x
b² = 4² = 16
所以 (3x−4)² = 9x²−24x+16。
驗算：(3x−4)(3x−4) = 9x²−12x−12x+16 = 9x²−24x+16。正確。
常見錯誤：只寫 9x²−12x+16 是漏乘 2（中間項應為 2ab）。

解析：逐一檢查：
(A) (x+3)² = x²+6x+9，不是 x²+9，錯（漏了中間項 6x）。
(B) (x−5)² = x²−2·x·5+25 = x²−10x+25，正確。
(C) (x+2)(x−2) = x²−4（平方差），不是 x²−2，錯。
(D) (2x+1)² = 4x²+4x+1，不是 4x²+2x+1，錯（中間項 2ab = 2·2x·1 = 4x）。
故只有 (B) 成立。

解析：把兩數看成 (60+2) 與 (60−2)，套用平方差 (a+b)(a−b) = a²−b²。
62×58 = (60+2)(60−2) = 60²−2² = 3600−4 = 3596。
驗算：62×58 = 62×60−62×2 = 3720−124 = 3596。正確。

解析：利用配方（完全平方公式的變形）：
(a+b)² = a²+2ab+b²，移項得 a²+b² = (a+b)²−2ab。
代入：a²+b² = 7²−2·10 = 49−20 = 29。
驗算：由 a+b=7、ab=10 可解出 a、b 為 2 與 5，2²+5² = 4+25 = 29。正確。

解析：先提出負號：(−2x−5)² = [−(2x+5)]² = (2x+5)²（負號平方後為正）。
再用完全平方公式，令 a=2x、b=5：
a² = 4x²，2ab = 2·2x·5 = 20x，b² = 25。
所以 (−2x−5)² = 4x²+20x+25。
驗算：(−2x−5)(−2x−5) = 4x²+10x+10x+25 = 4x²+20x+25。正確。
常見錯誤：誤以為結果帶負號寫成 4x²−20x+25。

解析：5x²-2x-(4-3x)
=5x²-2x-4+3x
=5x²+x-4
故選【B】。

解析：多項式的「次數」是最高次項的次數，最高次項為 -4x⁴，故次數為 4。
「x 的係數」指一次項 -x 的係數，-x = (-1)x，故係數為 -1。
常見誤答：把常數項 6 或把 x² 的係數 2 當成答案，或把係數看成 +1（漏掉負號）。

解析：先去括號，注意第二個括號前是減號，裡面每一項都要變號：
= 3x²-5x+2 - x²+3x+4
再合併同類項：
x² 項：3x²-x² = 2x²
x 項：-5x+3x = -2x
常數項：2+4 = 6
故結果為 2x²-2x+6。

解析：先展開：
2(x²-3x) = 2x²-6x
-3(2x²-x+1) = -6x²+3x-3
合併：(2x²-6x) + (-6x²+3x-3)
x² 項：2x²-6x² = -4x²
x 項：-6x+3x = -3x
常數：-3
化簡結果為 -4x²-3x-3，故 x² 的係數為 -4。

解析：把多項式依 x 的次數觀察：5x³ − x² − 2x + 7。
(A) 最高次項為 5x³，故為三次多項式；沒有 x 的那一項 7 是常數項，正確。
(B) 最高次是 3 次，不是 4 次，錯。
(C) 一次項是 −2x，係數是 −2（含負號），不是 2，錯。
(D) 共有 5x³、−x²、−2x、7 四項，不是 3 項，錯。
故選 (A)。

解析：減法要把後面括號內每一項都變號：
(4x²−3x+6) − (x²+5x−2) = 4x²−3x+6 − x²−5x+2。
合併同類項：
x²項：4x²−x² = 3x²
x項：−3x−5x = −8x
常數項：6+2 = 8
結果為 3x²−8x+8。
驗算：把 3x²−8x+8 加回 (x²+5x−2) 得 4x²−3x+6，還原成功。正確。

解析：先算 A−B（後式各項變號）：
A−B = (3x²−2x²) + (a−(−4))x + (−5−b) = x² + (a+4)x + (−5−b)。
與 x²+7x−9 逐項比對係數：
一次項：a+4 = 7 ⇒ a = 3
常數項：−5−b = −9 ⇒ b = 4
所以 a = 3，b = 4。
驗算：A = 3x²+3x−5，B = 2x²−4x+4，A−B = x²+7x−9。正確。

解析：後式變號展開：2x²−x+3 − x²+4x−1。
合併同類項：
x²項：2x²−x² = x²
x項：−x+4x = 3x
常數項：3−1 = 2
化簡結果為 x²+3x+2，其中一次項係數為 3。
驗算：x²+3x+2 加回 (x²−4x+1) 得 2x²−x+3，還原成功。正確。

解析：(A) 非零的常數（如 5 = 5x⁰）是零次多項式，正確。
(B) 例如 (x²+x) + (−x²+3) = x+3 是一次多項式，最高次項可能相消，故不一定是二次，錯。
(C) 多項式 0 稱為零多項式，它沒有次數（不是 0 次），錯。
(D) 3x+2x² 的最高次項是 2x²，次數是 2，不是 1，錯。
故選 (A)。

解析：(2x−3)(3x+4)=6x²+8x−9x−12=6x²−x−12
故選 (D)。

解析：以長除法計算 2x²+0x−3 除以 x+1：
2x²+0x−3=(x+1)(2x−2)−1
商式為 2x−2，餘式為 −1
故選 (D)。

解析：以 2x² 去除 6x²+4x，商為 3，6x² 減去後餘 4x。
∴ 餘式為 4x，
故選 (D)。

解析：利用長除法，得商式：4x-11，餘式：17
所求=(4x-11)+17=4x+6
故選【A】。

解析：用分配律，把 2x 與 -3 分別乘進括號：
2x·(x²+2x-1) = 2x³+4x²-2x
-3·(x²+2x-1) = -3x²-6x+3
相加合併同類項：
x³ 項：2x³
x² 項：4x²-3x² = x²
x 項：-2x-6x = -8x
常數項：3
故結果為 2x³+x²-8x+3。

解析：用長除法：
2x³ ÷ x = 2x²，2x²(x-2)=2x³-4x²，相減得 x²+x-5。
x² ÷ x = x，x(x-2)=x²-2x，相減得 3x-5。
3x ÷ x = 3，3(x-2)=3x-6，相減得 1（次數低於除式，停止）。
故商式 = 2x²+x+3，餘式 = 1。
除法原理驗證：被除式 = 除式×商式 + 餘式
(x-2)(2x²+x+3)+1
= 2x³+x²+3x-4x²-2x-6+1
= 2x³-3x²+x-5，與原式相同，驗證正確。

解析：用分配律逐項相乘：
(2x−3)(x+4) = 2x·x + 2x·4 + (−3)·x + (−3)·4
= 2x² + 8x − 3x − 12
合併中間項：8x−3x = 5x
結果為 2x²+5x−12。
常見錯誤：中間項算成 8x+3x = 11x（漏了 −3 的負號），或常數項算成 +12（漏了負負得正以外的判斷）。正確答案為 (A)。

解析：單項式乘多項式，用分配律把 3x 乘進每一項：
3x·2x² = 6x³
3x·(−4x) = −12x²
3x·5 = 15x
結果為 6x³−12x²+15x。
驗算：把每項除以 3x 可還原成 2x²−4x+5。正確。

解析：用長除法：
2x² ÷ x = 2x，2x·(x+2) = 2x²+4x，相減得 (5x−4x)+4 = x+4。
x ÷ x = 1，1·(x+2) = x+2，相減得 (4−2) = 2。
2 的次數（0 次）小於除式 (x+2) 的次數（1 次），除法結束。
所以商式為 2x+1，餘式為 2。
驗算（被除式 = 除式×商式 + 餘式）：(x+2)(2x+1)+2 = 2x²+x+4x+2+2 = 2x²+5x+4。正確。

解析：除法原理規定：餘式的次數必須小於除式的次數。除式 x²+1 是 2 次，所以餘式的次數最多為 1 次（也可能是 0 次或零多項式）。
(A) 3x−2 是一次多項式，次數 1 < 2，可以，正確。
(B) 2x²+1 是二次，(C) x² 是二次，(D) x³+x 是三次，次數都不小於 2，都不可能是餘式。
故選 (A)。

解析：由除法原理：被除式 = 除式 × 商式 + 餘式。
被除式 = (x−2)(x+5) + 3。
先展開 (x−2)(x+5) = x²+5x−2x−10 = x²+3x−10。
再加餘式：x²+3x−10 + 3 = x²+3x−7。
驗算：(x²+3x−7) ÷ (x−2)，商 x+5、餘 3；(x−2)(x+5)+3 = x²+3x−10+3 = x²+3x−7。正確。