國二上 第4章 一元二次方程式 · 會考分節練習 · 分節互動練習

解析：x²−8x−3×11=0
(x−11)(x+3)=0
x−11=0 或 x+3=0
x=11 或 x=−3
又 a>b
∴ a=11，b=−3
a−2b=11−2×(−3)=11−(−6)=17
故選 (D)。

解析：提出公因式 (x+7) 得：(x+7)(2x-10)=0
x=-7 或 5
又兩根為 a、b 且 a>b，取 a=5，b=-7
a+2b=5+2×(-7)=-9
故選【B】。

解析：十字交乘：2x² 拆成 2x 與 x，常數 −3 拆成 −1 與 3。
(2x−1)(x+3)=0
展開驗算：2x²+6x−x−3=2x²+5x−3 ✓，與原式相同。
由 AB=0 性質：
2x−1=0 → x=1/2
x+3=0 → x=−3
代回驗算：
x=1/2：2×(1/4)+5×(1/2)−3=1/2+5/2−3=0 ✓
x=−3：2×9+5×(−3)−3=18−15−3=0 ✓
故 x=1/2 或 x=−3。

解析：由 AB=0 性質：兩因式相乘為 0，則至少有一個因式為 0。
2x−3=0 → 2x=3 → x=3/2
x+4=0 → x=−4
代回驗算：
x=3/2：(2×3/2−3)(3/2+4)=(3−3)(11/2)=0×(11/2)=0 ✓
x=−4：(2×(−4)−3)((−4)+4)=(−11)(0)=0 ✓
故答案為 x=3/2 或 x=−4。

解析：設未知數：k 為待求係數。
將 x=3 代入方程式：
3²+k×3−15=0
9+3k−15=0 → 3k−6=0 → k=2。
方程式為 x²+2x−15=0。
因式分解：(x+5)(x−3)=0
展開驗算：x²−3x+5x−15=x²+2x−15 ✓。
解得 x=−5 或 x=3，故另一根為 x=−5。
代回驗算：(−5)²+2×(−5)−15=25−10−15=0 ✓。

解析：一元二次方程式必須能整理成 ax² + bx + c = 0（a≠0）的形式，且只含一個未知數、最高次為 2 次。
逐項檢查：
「x² − 4 = x² + x」→ 兩邊的 x² 相消，變成 −4 = x，最高次只有 1 次，屬一元一次方程式。
「5(x − 2) = 8」→ 展開為 5x − 10 = 8，也是一次式。
「2/x² + 3x = 1」→ 未知數 x 出現在分母，不是整式方程式。
「3x² + 2x = 7」→ 移項得 3x² + 2x − 7 = 0，a=3≠0，符合定義。
故答案為 3x² + 2x = 7。

解析：若 A×B = 0，則 A = 0 或 B = 0，這是解因式分解型方程式的關鍵。
由 (2x − 3)(x + 5) = 0：
令 2x − 3 = 0 → 2x = 3 → x = 3/2。
令 x + 5 = 0 → x = −5。
所以 x = 3/2 或 x = −5。
驗算：代 x=3/2，2×(3/2)−3 = 0，第一括號為 0，乘積為 0，成立。
代 x=−5，(−5)+5 = 0，第二括號為 0，乘積為 0，成立。

解析：先以十字交乘法分解 2x² + 7x + 3。
把 2x² 拆成 2x 與 x，常數 3 拆成 1 與 3，交叉相乘後相加要等於中間項 7x。
試 (2x + 1)(x + 3)：外項 2x×3 = 6x，內項 1×x = x，相加 6x + x = 7x，正確。
故 2x² + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) = 0。
令 2x + 1 = 0 → x = −1/2；令 x + 3 = 0 → x = −3。
所以 x = −1/2 或 x = −3。
驗算：代 x=−3，2×9 + 7×(−3) + 3 = 18 − 21 + 3 = 0，成立。
代 x=−1/2，2×(1/4) + 7×(−1/2) + 3 = 1/2 − 7/2 + 3 = −3 + 3 = 0，成立。

解析：「有一根為 2」表示把 x = 2 代入方程式會成立。
代入：2² + k×2 − 12 = 0 → 4 + 2k − 12 = 0 → 2k = 8 → k = 4。
所以方程式為 x² + 4x − 12 = 0。
因式分解：找兩數相乘為 −12、相加為 4，即 6 與 −2，得 (x + 6)(x − 2) = 0。
解得 x = −6 或 x = 2，故另一根為 −6。
所以 k = 4，另一根為 −6。
驗算：代 x=2，4 + 8 − 12 = 0；代 x=−6，36 − 24 − 12 = 0，兩根皆成立。

解析：「是方程式的根」就是代入後能使等式成立的數，可逐一代入檢驗，或先分解求根。
先分解：2x² − x − 6 用十字交乘，試 (2x + 3)(x − 2)：外項 2x×(−2) = −4x，內項 3×x = 3x，相加 −4x + 3x = −x，正確。
故 (2x + 3)(x − 2) = 0，兩根為 x = −3/2 或 x = 2。
四個選項中只有 x = 2 是根。
驗算：代 x = 2，2×4 − 2 − 6 = 8 − 8 = 0，成立；
代 x = 3，2×9 − 3 − 6 = 18 − 9 = 9 ≠ 0，不是根。
所以答案為 x = 2。

解析：5(x−4)²=125
(x−4)²=25
x−4=±5
x=9 或 x=−1
∵ a>b，∴ a=9，b=−1
2a+b=2×9+(−1)=18+(−1)=17
故選 (D)。

解析：(x−2)²=3
x−2=±√3
x=2±√3
由 a>b 可知，a=2+√3，b=2−√3
∴ 2a+b=2(2+√3)+(2−√3)=4+2√3+2−√3=6+√3
故選 (C)。

解析：判別式 =(−11)²−4×3×(−1)=133
∴ 3x²−11x−1=0 的公式解為 x=(11±√133)/(2×3)=(11±√133)/6
∴ a=(11+√133)/6
故選 (D)。

解析：甲方程式：(x-4)²=9
x-4=±3
x=4±3
x=7 或 1，甲有兩個相異的解
乙方程式：(x+9)²=-4
由於任何數的平方皆大於或等於 0，故乙無解。
故選【A】。

解析：設法將左式配成完全平方。
x²−6x+4=0
移項：x²−6x=−4
兩邊加上一次項係數一半的平方，即 (6/2)²=9：
x²−6x+9=−4+9
(x−3)²=5
開根號：x−3=±√5
x=3±√5
驗算（用公式解判別式）：b²−4ac=(−6)²−4×1×4=36−16=20，√20=2√5，x=(6±2√5)/2=3±√5 ✓，與配方法結果一致。
故 x=3+√5 或 x=3−√5。

解析：判別式 D=b²−4ac，D＞0 有兩相異實根、D=0 有兩相等實根、D＜0 無實根。
逐一計算：
2x²−3x−1=0：D=(−3)²−4×2×(−1)=9+8=17＞0 → 兩相異實根 ✓
x²−4x+4=0：D=(−4)²−4×1×4=16−16=0 → 兩相等實根
x²+x+1=0：D=1²−4×1×1=1−4=−3＜0 → 無實根
x²−2x+5=0：D=(−2)²−4×1×5=4−20=−16＜0 → 無實根
故僅 2x²−3x−1=0 有兩個相異實根。

解析：當一邊是完全平方、另一邊是常數時，可直接開平方，記得取正負兩個值。
由 (2x − 1)² = 25，開平方得 2x − 1 = ±√25 = ±5。
取 2x − 1 = 5 → 2x = 6 → x = 3。
取 2x − 1 = −5 → 2x = −4 → x = −2。
所以 x = 3 或 x = −2。
驗算：代 x=3，(2×3 − 1)² = 5² = 25，成立。
代 x=−2，(2×(−2) − 1)² = (−5)² = 25，成立。

解析：配方法的步驟：先把常數移到右邊，再在兩邊加上「一次項係數一半的平方」，把左邊湊成完全平方。
x² − 4x = 3。
一次項係數為 −4，其一半為 −2，平方為 4，兩邊各加 4：
x² − 4x + 4 = 3 + 4 → (x − 2)² = 7。
開平方：x − 2 = ±√7 → x = 2 ± √7。
所以 x = 2 + √7 或 x = 2 − √7。
驗算（用公式解檢查）：判別式 = (−4)² − 4×1×(−3) = 16 + 12 = 28，√28 = 2√7，x = (4 ± 2√7)/2 = 2 ± √7，與配方結果一致。

解析：完全平方式 (x + a)² = x² + 2ax + a²，比較後可知常數項等於「一次項係數一半的平方」。
本題一次項係數為 10，其一半為 5，平方為 5² = 25，故 □ = 25。
此時 x² + 10x + 25 = (x + 5)²。
所以 □ = 25，寫成 (x + 5)²。
驗算：(x + 5)² = x² + 2×5×x + 25 = x² + 10x + 25，與原式相符。

解析：先對照 ax² + bx + c = 0 找出係數：a = 2、b = −3、c = −1。
計算判別式：b² − 4ac = (−3)² − 4×2×(−1) = 9 + 8 = 17 > 0，有兩相異實根。
代入公式：x = (−(−3) ± √17) / (2×2) = (3 ± √17) / 4。
所以 x = (3 + √17)/4 或 x = (3 − √17)/4。
驗算（用根與係數）：兩根之和 = (3+√17)/4 + (3−√17)/4 = 6/4 = 3/2 = −b/a = 3/2，正確；
兩根之積 = ((3)² − (√17)²)/16 = (9 − 17)/16 = −8/16 = −1/2 = c/a = −1/2，正確。

解析：用判別式 D = b² − 4ac 判斷：D>0 有兩相異實根，D=0 有重根，D<0 沒有實數根。
「x² + 2x + 5 = 0」：D = 2² − 4×1×5 = 4 − 20 = −16 < 0，沒有實數根。
「x² − 6x + 9 = 0」：D = (−6)² − 4×1×9 = 36 − 36 = 0，有重根。
「x² − 5x + 6 = 0」：D = (−5)² − 4×1×6 = 25 − 24 = 1 > 0，有兩相異實根。
「2x² + 3x − 1 = 0」：D = 3² − 4×2×(−1) = 9 + 8 = 17 > 0，有兩相異實根。
故沒有實數根的是 x² + 2x + 5 = 0。

解析：設未知數：設較小的正整數為 n，則較大的為 n+1。
列式：n(n+1)=156
n²+n−156=0
因式分解：(n−12)(n+13)=0
展開驗算：n²+13n−12n−156=n²+n−156 ✓。
解得 n=12 或 n=−13。
檢驗合理性：n 為正整數，故 n=−13 不合，取 n=12。
兩數為 12 與 13。
代回驗算：12×13=156 ✓。

解析：設未知數：設寬為 x 公尺，則長為 (x+4) 公尺。
列式（面積＝長×寬）：x(x+4)=45
x²+4x−45=0
因式分解：(x−5)(x+9)=0
展開驗算：x²+9x−5x−45=x²+4x−45 ✓。
解得 x=5 或 x=−9。
檢驗合理性：寬為長度不可為負，故 x=−9 不合，取 x=5。
寬 5 公尺，長 5+4=9 公尺。
代回驗算：5×9=45 平方公尺 ✓。

解析：設未知數：設較短股為 x 公分，則較長股為 (x+7) 公分。
列式（畢氏定理：兩股平方和＝斜邊平方）：
x²+(x+7)²=13²
x²+x²+14x+49=169
2x²+14x−120=0
兩邊同除以 2：x²+7x−60=0
因式分解：(x−5)(x+12)=0
展開驗算：x²+12x−5x−60=x²+7x−60 ✓。
解得 x=5 或 x=−12。
檢驗合理性：邊長不可為負，故 x=−12 不合，取 x=5。
兩股為 5 公分與 5+7=12 公分。
代回驗算：5²+12²=25+144=169=13² ✓。

解析：設未知數：t 為拋出後經過的秒數。
列式：令 h=40，
30t−5t²=40
整理：5t²−30t+40=0
兩邊同除以 5：t²−6t+8=0
因式分解：(t−2)(t−4)=0
展開驗算：t²−4t−2t+8=t²−6t+8 ✓。
解得 t=2 或 t=4。
檢驗合理性：t 為時間須為正，兩者皆為正且合理——球先上升，在 t=2 秒到達 40 公尺；繼續上升至最高點後下降，在 t=4 秒再次通過 40 公尺。
代回驗算：
t=2：30×2−5×4=60−20=40 ✓
t=4：30×4−5×16=120−80=40 ✓
故球在 第 2 秒（上升）與第 4 秒（下降） 高度為 40 公尺。

解析：設較小的正整數為 n，則較大的為 n + 1（連續整數相差 1）。
列式：n(n + 1) = 156 → n² + n − 156 = 0。
找兩數相乘為 −156、相加為 1，即 13 與 −12，分解得 (n − 12)(n + 13) = 0。
解得 n = 12 或 n = −13。
檢驗合理性：因為要「正整數」，n = −13 不合，取 n = 12，兩數為 12 與 13。
所以 這兩個數為 12 與 13。
驗算：12 × 13 = 156，且兩數連續，符合題意。

解析：設寬為 x 公分，則長為 (x + 5) 公分。
由面積 = 長 × 寬列式：x(x + 5) = 84 → x² + 5x − 84 = 0。
找兩數相乘為 −84、相加為 5，即 12 與 −7，分解得 (x − 7)(x + 12) = 0。
解得 x = 7 或 x = −12。
檢驗合理性：長度不可為負，x = −12 不合，取 x = 7。
故寬 = 7 公分，長 = 7 + 5 = 12 公分。
所以 寬 7 公分、長 12 公分。
驗算：12 × 7 = 84 平方公分，且長比寬多 5 公分，符合題意。

解析：設較短的股為 x 公分，則較長的股為 (x + 7) 公分，斜邊為 13 公分。
依畢氏定理（兩股平方和 = 斜邊平方）列式：x² + (x + 7)² = 13²。
展開：x² + x² + 14x + 49 = 169 → 2x² + 14x − 120 = 0，同除以 2 得 x² + 7x − 60 = 0。
找兩數相乘為 −60、相加為 7，即 12 與 −5，分解得 (x − 5)(x + 12) = 0。
解得 x = 5 或 x = −12。
檢驗合理性：長度不可為負，x = −12 不合，取 x = 5，較長股為 5 + 7 = 12。
所以 兩股長為 5 公分與 12 公分。
驗算：5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，符合畢氏定理。

解析：設售價提高 x 元，則每件售價為 (50 + x) 元。
每件利潤 = 售價 − 成本 = (50 + x) − 40 = (10 + x) 元。
每天賣出數量 = (200 − 5x) 件。
總利潤 = 每件利潤 × 數量，列式：(10 + x)(200 − 5x) = 3000。
展開：2000 − 50x + 200x − 5x² = 3000 → −5x² + 150x + 2000 = 3000。
整理：−5x² + 150x − 1000 = 0，同除以 −5 得 x² − 30x + 200 = 0。
分解 (x − 10)(x − 20) = 0，解得 x = 10 或 x = 20。
檢驗合理性：x = 10 → 售價 60 元、每天賣 150 件，皆為正，合理；x = 20 → 售價 70 元、每天賣 100 件，也合理，兩者皆可。
所以 售價定為 60 元或 70 元。
驗算：售價 60 元時利潤 = (60−40)×150 = 20×150 = 3000；售價 70 元時利潤 = (70−40)×100 = 30×100 = 3000，皆為 3000 元。

解析：把高度 h = 40 代入公式，列出方程式：30t − 5t² = 40。
整理：−5t² + 30t − 40 = 0，同除以 −5 得 t² − 6t + 8 = 0。
分解：找兩數相乘為 8、相加為 6，即 2 與 4，得 (t − 2)(t − 4) = 0。
解得 t = 2 或 t = 4。
檢驗合理性：時間不可為負，兩解皆為正數，都合理。物體上升途中（第 2 秒）與落下途中（第 4 秒）各經過一次 40 公尺的高度。
所以 在第 2 秒與第 4 秒時，高度都是 40 公尺。
驗算：t = 2 時 h = 30×2 − 5×2² = 60 − 20 = 40；t = 4 時 h = 30×4 − 5×4² = 120 − 80 = 40，皆為 40 公尺。