國二上 第2章 平方根與畢氏定理 · 會考分節練習 · 分節互動練習

解析：∵ (√2022)²=2022
40²=1600，45²=2025
∴ 40<√2022<45，
故選 (D)。

解析：逐一檢驗四個選項。
√16 表示 16 的正平方根，√16 = 4，並非 ±4。
-5 為負數，負數沒有實數平方根。
√((-7)²) = √49 = 7（即 |-7| = 7），正確。
9 的平方根有兩個，為 ±3，不能只寫 3。
故正確選項為 √((-7)²) = 7。

解析：先估算 √73 落在哪兩個連續整數之間。
因為 8² = 64、9² = 81，且 64 < 73 < 81，
所以 8 < √73 < 9，整數部分 a = 8。
小數部分 b = √73 - 8。
2a + b = 2×8 + (√73 - 8) = 16 + √73 - 8 = 8 + √73。

解析：四數皆為正數，可將各數化為根號形式，再比較被開方數。
3√2 = √(9×2) = √18；2√5 = √(4×5) = √20；
√17 = √17；4 = √16。
比較被開方數：16 < 17 < 18 < 20，
故 4 < √17 < 3√2 < 2√5。

解析：x² = 11 表示要找「平方後等於 11」的數。
因為 11 是正數，這樣的數有兩個：一正一負。
正的一個記作 √11，負的一個記作 -√11。
驗算：(√11)² = 11、(-√11)² = 11，兩者皆成立。
所以 x = ±√11。
常見錯誤是只寫 √11，漏掉負根；而 11/2 是把「平方」誤當成「除以 2」。

解析：找出 54 落在哪兩個「完全平方數」之間。
7² = 49、8² = 64，而 49 ＜ 54 ＜ 64。
對三者同時開平方（根號愈開愈大不改變大小順序）：
√49 ＜ √54 ＜ √64，即 7 ＜ √54 ＜ 8。
所以 √54 介於 7 與 8 之間。

解析：把不等式各項同時平方（各項皆為正，方向不變）：
4 ＜ √n ＜ 5　⇒　4² ＜ n ＜ 5²　⇒　16 ＜ n ＜ 25。
注意是嚴格不等，故 16 與 25 都不算。
符合的正整數 n 為 17、18、19、20、21、22、23、24。
逐一數出共有 8 個。

解析：把每個數都改寫成「單一根號」的形式，再比較根號內的數。
2√3 = √(2²×3) = √12
3√2 = √(3²×2) = √18
√20 = √20
5 = √(5²) = √25
根號內由小到大：12 ＜ 18 ＜ 20 ＜ 25。
因此 2√3 ＜ 3√2 ＜ √20 ＜ 5。

解析：利用性質 √(a²) = |a|（開完平方一定是非負數，等於絕對值）。
√((-11)²) = |-11| = 11。
先算括號：4 - 9 = -5，故 √((-5)²) = |-5| = 5。
√(3²) = |3| = 3。
合併：11 + 5 - 3 = 13。
提醒：√((-11)²) 不可寫成 -11，因為根號的結果不會是負數。

解析：√6×(1/√3 − 1) = √6/√3 − √6 = √2 − √6
故選 (A)。

解析：√44=√(2²×11)=2√11　∴ a=11
√54=√(2×3³)=3√6　∴ b=6
故 a+b=11+6=17
故選 (B)。

解析：√2×(√48−√12)=√2×√48 − √2×√12=√96−√24=4√6−2√6=2√6
【另解】√2×(√48−√12)=√2×(4√3−2√3)=√2×2√3=2√6
故選 (B)。

解析：(A) 4√3+2√3=(4+2)×√3=6√3
(B) 4√3−2√3=(4−2)×√3=2√3
(C) 4√3×2√3=4×2×√3×√3=8×3=24≠8√3
(D) 4√3÷2√3=4√3/2√3=2
故選 (C)。

解析：√135=√(3³×5)=√(3²×3×5)=3√15
故選 (C)。

解析：9/(4-√7)=9/(4-√7)×(4+√7)/(4+√7)=9(4+√7)/(4²-(√7)²)=9(4+√7)/(16-7)=4+√7
∴ a=4，b=1 ⇒ a+b=5
故選【A】。

解析：由分配律得：
(2√3+√6)×√2=2√6+√12=2√6+2√3
故選【C】。

解析：√504=√(2³×3²×7)=6√14
得 a=6，b=14
a+b=20
故選【C】。

解析：逐項化簡再合併同類的根式。
(√6)/(√2) = √(6÷2) = √3。
√27 = √(9×3) = 3√3；√12 = √(4×3) = 2√3。
原式 = √3 + 3√3 - 2√3 = (1 + 3 - 2)√3 = 2√3。

解析：先把每一項化成「最簡根式」，抽出完全平方因數。
√32 = √(16×2) = 4√2
√18 = √(9×2) = 3√2
√8 = √(4×2) = 2√2
三項的根號部分都是 √2，可當作同類項合併：
4√2 + 3√2 - 2√2 = (4+3-2)√2 = 5√2。
常見錯誤是直接把根號內的數相加減成 √42，這是不對的。

解析：先處理分母有理化：分子、分母同乘 √3。
6/√3 = (6×√3)/(√3×√3) = 6√3/3 = 2√3。
再化簡 √12 = √(4×3) = 2√3。
兩項同為 √3 的倍數，合併：
2√3 + 2√3 = 4√3。
驗算：4√3 = √(16×3) = √48，而原式約為 3.46 + 3.46 = 6.93，√48 ≈ 6.93，吻合。

解析：先把根號內的數字與變數各自拆成「完全平方 × 其餘」。
72 = 36 × 2，且 a² 為完全平方。
√(72a²b) = √(36a² × 2b) = √(36a²) × √(2b)。
因為 a>0，所以 √(36a²) = 6a。
故 √(72a²b) = 6a√(2b)。
驗算：(6a√(2b))² = 36a² × 2b = 72a²b，與原式相符。

解析：把每一項先化成含 √2 的同類方根。
2√18 = 2 × √(9×2) = 2 × 3√2 = 6√2。
√50 = √(25×2) = 5√2。
√8 = √(4×2) = 2√2。
合併同類方根：6√2 + 5√2 − 2√2 = (6+5−2)√2 = 9√2。
驗算：9√2 = √(81×2) = √162；而 2√18=√72、√50、√8 換算後 √72+√50−√8 對應 6√2+5√2−2√2=9√2，一致。

解析：分母有理化：把分母的根號設法變成整數。
(1) 分子分母同乘 √5：
10/√5 = (10 × √5)/(√5 × √5) = 10√5/5 = 2√5。
驗算：2√5 ≈ 4.472，10/√5 ≈ 10/2.236 ≈ 4.472，相符。
(2) 分子分母同乘共軛根式 (√6 + √2)：
4/(√6 − √2) = 4(√6 + √2)/((√6 − √2)(√6 + √2))。
分母 = (√6)² − (√2)² = 6 − 2 = 4。
= 4(√6 + √2)/4 = √6 + √2。
驗算：√6 + √2 ≈ 2.449 + 1.414 = 3.863；4/(√6−√2) ≈ 4/1.035 ≈ 3.863，相符。

解析：比較帶根號的數，可把整數係數移進根號內再比根號內的數。
3√5 = √(9×5) = √45。
4√3 = √(16×3) = √48。
5√2 = √(25×2) = √50。
因為 45 < 48 < 50，且被開方數越大、方根越大，
所以 √45 < √48 < √50，即 3√5 < 4√3 < 5√2。
驗算：3√5≈6.71、4√3≈6.93、5√2≈7.07，大小順序一致。

解析：設斜邊長為 c，由畢氏定理：兩股平方和等於斜邊平方。
9² + 12² = c²，
81 + 144 = 225 = c²，
c = √225 = 15。
驗算：9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15²，成立。

解析：三邊能構成直角三角形的條件：兩短邊平方和 = 最長邊平方。
檢驗 8、15、17：8² + 15² = 64 + 225 = 289，而 17² = 289，兩者相等，成立。
其餘各組：5² + 6² = 61 ≠ 49；4² + 5² = 41 ≠ 36；6² + 7² = 85 ≠ 81，皆不成立。
故選 8、15、17。

解析：利用兩點距離公式（即畢氏定理）。
水平差 = 3 - (-2) = 5，鉛直差 = 13 - 1 = 12。
距離 = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13。
驗算：5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²，成立。

解析：旗桿（8 公尺）與地面（6 公尺）互相垂直，繩子為斜邊。
繩長² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100，
繩長 = √100 = 10（公尺）。
驗算：6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10²，即為 6-8-10 直角三角形，成立。

解析：設正方形邊長為 a。對角線將正方形分成兩個等腰直角三角形。
由畢氏定理：對角線² = a² + a² = 2a²。
即 8² = 2a²，64 = 2a²，a² = 32。
面積 = a² = 32。
（也可用：面積 = 對角線² ÷ 2 = 64 ÷ 2 = 32。）
此即邊長為對角線的 1/√2 倍、對角線為邊長的 √2 倍之關係。

解析：由畢氏定理：兩股平方和等於斜邊平方。
c² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289。
c = √289 = 17。
驗算：8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²，成立。（8-15-17 為常見畢氏數）

解析：由畢氏定理：斜邊平方 = 兩股平方和。
20² = 12² + x²。
x² = 400 − 144 = 256。
x = √256 = 16。
驗算：12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20²，成立。（12-16-20 為 3-4-5 的 4 倍）

解析：判別直角三角形：檢查「最長邊的平方」是否等於「另兩邊平方和」。
7,24,25：7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²，成立，為直角三角形。
6,7,8：6² + 7² = 36 + 49 = 85 ≠ 64 = 8²，不成立。
5,6,9：5² + 6² = 25 + 36 = 61 ≠ 81 = 9²，不成立。
10,12,15：10² + 12² = 100 + 144 = 244 ≠ 225 = 15²，不成立。
故答案為 7, 24, 25。

解析：兩點距離可用畢氏定理：以水平差、鉛直差為兩股。
水平差 = 5 − (−3) = 8；鉛直差 = 5 − (−1) = 6。
AB² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100。
AB = √100 = 10。
驗算：8² + 6² = 64 + 36 = 100 = 10²，成立。（6-8-10 為 3-4-5 的 2 倍）

解析：牆、地面與梯子恰組成直角三角形，梯子為斜邊。
由畢氏定理：h² + 15² = 25²。
h² = 625 − 225 = 400。
h = √400 = 20（公尺）。
驗算：15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25²，成立。（15-20-25 為 3-4-5 的 5 倍）